***5
دنباله ها و سری ها
دنباله و سری از مفاهیم بنیادی حساب دیفرانسیل و انتگرال هستند. دانشجو
در این درس با این مفاهیم ، مفاهیم وابسته و کاربردهای ساده آنها ، نظیر
پیدا کردن حد برخی دنباله ها ، به دست آوردن مقدار تقریبی برخی اعداد و ...
آشنا می شود.
هدف کلی از ارائه این فصل آشنا کردن دانشجو به طوری که مطالعه درسهای
آنالیز 1 و معادلات دیفرانسیل برای آنان آسانتر و لذت بخشتر باشد.
***6
دانشجو پس از مطالعه این فصل باید بتواند :
1- دنباله، دنباله های صعودی،نزولی، و یکنوا را تعریف و برای هر
کدام مثالی ذکر کند.
2- دنباله های همگرا و واگرا را از هم باز بشناسد ، و در هر مورد
مثال ارائه کند.
3- ثابت کند که هر دنباله یکنوا و کراندار همگراست.
4- ثابت کند که مجموع ، تفاضل ، حاصلضرب ، و خارج قسمت دو
دنباله (با مخرج غیر صفر) همگرا، دنباله ای همگراست
***7
سری، جمله عمومی سری، مجموع جزئیn ام سری،همگرایی
و واگرایی سری را تعریف کند.
6- آزمون کوشی برای همگرایی را را بیان کند و با استفاده از آن آزمون
واگرایی را نتیجه بگیرد.
7- آزمون همگرایی سریهای با جمله های نامنفی و مجموع
جزئی کراندار را بیان کند.
8- انواع آزمونهای همگرایی ، آزمون مقایسه ، آزمون نسبت ،
آزمون ریشه را بیان کندو از آنها استفاده کند.
9- ثابت کند که سری واگرا و سری همگراست
***8
سریهای متناوب را شناسایی و آزمون همگرایی آنها را بیان کند و
به کار برد
11- همگرایی مطلق و مشروط را تعریف کند و نشان دهد که همگرایی
مطلق همگرایی معمولی را ایجاب می کند .
12- سریهای توان را تعریف کند . شعاع همگرایی و بازه همگرایی را برای
هر سری توان را به دست آورد.
13- با سریهای توان روی بازه همگرایی به عنوان یک تابع رفتار کند و
تشخیص دهد که تحت چه شرایطی می توان حد سری توان را محاسبه
کرد ، از آن مشتق یا انتگرال گرفت.
***9
در این بخش پس از معرفی دنباله ، مفاهیم بنیادی وابسته به آن
را بیان می کنیم . در میان این مفاهیم ، همگرایی دنباله اهمیت
ویژه ای دارد. در واقع، سعی خواهیم کرد که به هر دنباله ای عددی
نسبت دهیم ، اگر این کار امکان پذیر باشد می گوییم دنباله همگراست
وگرنه دنباله واگرا نامیده خواهد شد. به این ترتیب ،دنباله ها
را به دو دسته همگرا و واگرا تقسیم می کنیم
***10
تعریف
فرض کنید A مجموعه ای دلخواه باشد. تابع f با قلمرو N و برد A را
یک دنباله در A می گوییم.مقدار f به ازای n را جمله عمومی دنباله
f می نامیم و معمولا به صورت و.... نشان می دهیم.در تعریف
1 . 1 . 1 اگر A=R یا ¢ A= آنگاه دنباله را حقیقی یا مختلط می نامیم
مثال :
الف) دنباله یک دنباله از اعداد حقیقی و لذا یک دنباله حقیقی
است . جمله عمومی این دنباله عبارت است از:
***11
تعریف :
می گوییم دنباله حقیقی به عدد l همگراست اگر به ازای هر ،
یک عدد طبیعی وجود داشته باشد که از نتیجه می شود:
اگر دنباله به عددی همگرا نباشد واگرا نامیده می شود.
گزاره
اگر دنباله به اعداد حقیقی l و همگرا باشد آنگاه .
به عبارت دیگر ، هر دنباله می تواند حداکثر به یک عدد حقیقی همگرا باشد.